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一个多面体的面数比顶点数大8且有30条棱则这个多面体的面数是多

归档日期:07-07       文本归类:多面体模型      文章编辑:爱尚语录

  利用欧拉公式得知多面体面数、顶点数、棱数的关系式多面体面数-棱数+顶点数=2求出面数F为20。

  多面体欧拉定理是指对于简单多面体,其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式:V-E+F=2。

  1、当R= 2时 ,由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ,赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

  2、设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ,下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

  由说明 2,我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ,使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ,地图上只有 m 个区域了。

  在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ,若原该边界两端 的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点 ,则 该顶点保留 ,同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点 ,则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。

  即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不 论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ,就又成为 R= m+ 1的地图了 ,在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。

  因此 ,若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ,则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

  展开全部若用f表示一个正多面体的面数,e表示棱数,v表示顶点数,则有欧拉公式:f+v-e=2。

  由题意,f + (f-8) -30 = 2, 解得f = 20.因此,这个多面体是20面体,即有20个面。

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