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欧拉定理是哪一年被发现的?

归档日期:07-07       文本归类:多面体模型      文章编辑:爱尚语录

  欧拉,瑞士数学家,13岁进巴塞尔大学读书,得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他从19岁开始发表论文,直到76岁,他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作,整整用了47年。

  欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。

  欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支,对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯(Gauss,1777-1855)曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者,他创设的许多数学符号,例如π,i,e,sin,cos,tg,Σ,f (x)等等,至今沿用。

  欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2,此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数,已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹,怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式.

  (2)思想方法创新:定理发现证明过程中,观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;方法上将底面剪掉,化为平面图形(立体图→平面拉开图)。

  (3)引入拓扑学:从立体图到拉开图,各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。

  定理引导我们进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形,拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

  在欧拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们,简单多面体f (p)=2。

  除简单多面体外,还有非简单多面体。例如,将长方体挖去一个洞,连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面,而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0,即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

  如:为什么正多面体只有5种? 足球与C60的关系?否有棱数为7的正多面体?等

  去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1

  (1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。

  (2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。

  对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

  设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和Σα

  设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

  设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有:

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