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帕特农神庙和达芬奇的画让人愉悦的秘诀是什么?是数学!

归档日期:05-28       文本归类:多面体模型      文章编辑:爱尚语录

  黄金分割是指将整体一分为二,使得较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。这个比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例,称为黄金分割比或黄金分割率(golden ratio)。

  使得较长部分AC与全长AB的比值等于较短部分CB与较长部分AC的比值,即

  除了黄金分割,还有黄金矩形,即短边与长边之比为 0.618的矩形。黄金分割和黄金矩形都能够给画面带来美感,令人愉悦。在很多艺术品和大自然中都能找到它,希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例子,意大利画家达·芬奇画中人物的脸往往也符合黄金矩形。

  任给一个线段,如何在它的延长线上分割出黄金分割比呢?古希腊人的方法是先做出一个黄金矩形,那样黄金分割比也就自然而然地作出来了:如图,先作一个边长为 1 的正方形ABCD,连结上下两组对边的中点E与F,这样就把正方形左右均分。

  然后以F点为圆心,FC长为半径画圆弧,交AD的延长线于G点。再过G点作垂线,交BC的延长线于H点,则四边形ABHG即为黄金矩形。这是因为,由毕达哥拉斯定理(勾股定理)可得

  我们说的五角星是指正五角星(pentagram),它是由五条相同的直线画成的星形图案。如图,五角星的每个角是36度,而每条边(直线度。

  五角星可能最早出现在两河流域的美索不达米亚。在苏美尔人的象形语言中,五角星作为一种字符,表示墙角、隐蔽处、小房间、空洞、陷阱等意思;而到了巴比伦时代,又有了占星术的含义,五角星代表了五个星球:木星、水星、火星、土星和“天堂的皇后”

  一直以来,五角星都与人类对金星的崇拜有密切关系。造成这一关系的各种可能的原因里,最可信的是古代天文学家的观察——由地球望出去,围绕太阳的金星轨道形成的5个交叉点近乎于完美的五角星。

  在太阳系的八大行星里,地球是距离太阳第三近的行星,而金星是距离太阳第二近的。金星绕太阳的公转周期约224.71地球日,这个数字与地球公转周期365.26的比值接近于黄金分割率。事实上,地球每绕太阳8圈,差不多相当于金星绕太阳13圈,而8和13是两个相邻的斐波那契数(第6项和第7项)。

  由五角星可以得到正五边形,这只要把5个顶点连接起来或把5个伸展出来的三角形去掉就可以了。反之,有了正五边形之后,让5条边延长,相邻而不相接的两边相交之后,连同原先的正五边形,就构成了一个大的五角星。有意思的是,美丽的牵牛花外形是正五边形,而花蕊内侧边形成的图案恰好是五角星形。

  可以证明,五角星(或正五边形)中也存在着黄金分割比,且错综复杂。举例来说,任取五角星所包含的那个正五边形的一个顶点,它与五角星最近的尖点的距离,与它到这两点连线延长线上的另一尖点的距离的比值,恰好是黄金分割率,即0.618…

  五角星是毕达哥拉斯学派的徽记,据说学员们身上都佩戴这样的徽记。由此可见,毕达哥拉斯和他的弟子们很可能已经知道黄金分割比了。事实上,毕氏生活的年代要比帕特农神庙的兴建要早,这就合乎情理了。顺便提一下,假如是六角星的线…。

  传说公元前6世纪的一天,毕达哥拉斯走过一个铁匠铺时,听到铁匠打铁的声音很好听,便驻足倾听。毕达哥拉斯发现声音高低与铁锤的重量有关,于是,他比较了不同重量的铁锤发出不同谐音之间的比例关系,从而测定了各种音调的数学关系,这可能是他后来探究黄金分割比的开始。

  在发现了音乐中的数字比例之后,毕达哥拉斯进一步提出了“万物皆数”,这是他“宇宙和谐论”的主要论点,后来被柏拉图所继承。以倡导宇宙起源于“大爆炸”理论闻名的俄裔美国物理学家乔治·伽莫夫曾经赞叹:“发现音乐与数字比例之间的秘密,这大概是物理学定律的第一次数学公式表达,也完全可以认为是理论物理迈出的第一步。”

  因为黄金分割率是无理数,不能表示成两个正整数的比值,要精确地画出五角星,徒手或只用直尺是不可能的。在一些非正式的图形中,不精确的五角星反而给人轻松的感觉,但是在国旗、国徽或其他正式场合,五角星必须是完全精确的,这就需要借助工具——圆规和直尺(可以没有刻度),称为尺规作图法,又叫欧几里得作图法。

  五角星有不同的作图法,下面的这个方法比较简练,但完全理解仍需要动些脑筋,可以准备纸笔来实际操作(当然也不妨先行跳过):

  4、以OC为半径,A为起点,在圆O上依次截取长为AD的十段弧,连结成一个正十边形;

  1796年,不满19岁的德国青年高斯证明了,上述作图法可以推广,并发现了它与著名的费尔马素数之间的秘密关系。特别地,高斯给出了正十七边形的欧几里得作图法(17是费尔马素数),解决了两千多年前古希腊人留下的数学难题。从那以后,他便下决心献身数学,后来成为同行赞誉的“数学王子”。不过,正十七边形再也不与黄金分割率有关。

  帕特农神庙(Parthenon)建成于公元前477年至前432年,它坐落在希腊首都雅典卫城的最高点上,是为了庆祝雅典战胜波斯而建。一般认为,帕特农是雅典保护神雅典娜的别号,意为“处女”。这座神庙历经两千五百多年的沧桑巨变,如今庙顶已坍塌,雕像荡然无存,浮雕剥蚀严重,但从巍然屹立的柱廊中,还能看出神庙当年的丰姿,可以说她代表了古希腊建筑和雕刻艺术的最高水准。

  我曾于1999年夏天前往参观。从残存的遗迹来看,帕特农神庙气宇非凡。它在继承传统的基础上又有许多创新。

  根据现代还原图推算,神庙的南北长,东西短,东西两面各宽31米,顶部距离地面19米。也就是说,其立面高与宽的比例为19比31,接近古希腊人喜爱的“黄金分割比”。庙内原先还有一尊黄金和象牙镶嵌的雅典娜女神像,由著名雕塑家菲迪亚斯制作,神像身材的比例也符合黄金分割比。

  值得一提的是,肇始于毕达哥拉斯学派的完美数问题是历史最悠久的数学难题,完美数的定义是,它们每一个的真因子之和等于自身。

  通过积木演示完美数6,白色矩形代表1,红色矩形代表2,浅绿色矩形代表3,深绿色矩形代表6。图片来源:Perfect number|Wikipedia

  迄今为止,哪怕是借助最先进的计算机联网,也只找到49个完美数,其中最初的4个:6, 28, 496, 8128是古希腊人发现的。曾经有人猜测完美数交替以数字6和8结尾,但后来被否定了。在已发现的49个完美数里,有19个以6结尾,30个以8结尾。写到这里,我想问,下一个(第50个)完美数会以8结尾吗?要是那样,它们之间的比值也恰好是19比31。

  在帕特农神庙建成一个世纪以后,哲学家柏拉图在他的著作《蒂迈欧篇》里提到了5种仅有的正多面体,即正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体,世人称之为“柏拉图多面体”。不过也有人认为,它们并非柏拉图本人所发现。

  公元前3世纪,希腊数学家欧几里得在《几何原本》里第一次给出了黄金分割的严格定义,他称之为“中外比”。此书共13章,这个定义出现在第6章,而在后面欧几里得讲述正十二面体和正二十面体构成时,反复利用了“中外比”及其相关性质。

  之后,中世纪欧洲最著名的数学家、意大利人斐波那契在他的《算盘书》提出了“兔子问题”,被称为斐波那契序列。如图前文所说,这个序列的前两项均为1,从第三项开始,每一项都是前两项的和,即

  不过,这一事实要等到四个世纪以后的1611年,才由德国天文学家、数学家开普勒指出。他还从柏拉图多面体获得启示,相信天体的运行轨迹应是几何图形,由此提出了行星运动三大定律。至于这个极限的证明,至晚在19世纪,由法国数学家比内给出,他利用以他名字命名的以表示的Fn 的通项公式推出。

  1909年,美国数学家马克·巴尔建议,用雕塑家菲迪亚斯(Phidias)的第一个希腊字母phi的小写字母来表示黄金分割率,后来逐渐形成了惯例。除此以外,人们还用phi的大写字母Φ来表示黄金分割率的倒数1.618…

  除了古典艺术以外,黄金分割比在20世纪的艺术里也有应用,1912年的巴黎曾有过黄金分割画派的展览,参加的有后来移居美国的法国画家马塞尔·杜桑。在西班牙画家萨尔瓦多·达利和瑞士建筑师勒·科比西埃的作品里,也都有使用黄金分割的元素。1953年,美国统计学家杰克·基弗提出了优选学中的黄金分割法,70年代曾被中国数学家华罗庚加以推广。

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