我要投搞

标签云

收藏小站

爱尚经典语录、名言、句子、散文、日志、唯美图片

当前位置:彩63彩票 > 多面体简化 >

细分曲面数控加工关键技术研究pdf

归档日期:04-30       文本归类:多面体简化      文章编辑:爱尚语录

  1.本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

  细分曲面数控加工关键技术研究 图目录 图1. 1 产品零件制造过程及内容 2 图1. 2 不同建模方式表示的鼠标模型 4 图1. 3 CATMULL-CLARK 细分过程 5 图1. 4 CATMULL-CLARK 细分曲面拟合数据点 6 图1. 5 LOOP 细分曲面拟合三角网格模型 7 图1. 6 裁剪曲面转化为CATMULL-CLARK 细分曲面 15 图1. 7 本文的组织结构 16 图2. 1 CATMULL-CLARK 模式细分过程 22 图2. 2 内部顶点1-领域控制顶点 23 图2. 3 边界顶点 1-领域控制顶点 25 图2. 4 细分次数计算实例(模型1) 30 图2. 5 初始网格细分k 次后控制顶点到其相应的极限点之间的距离(模型 1) 30 图2. 6 细分次数计算实例(模型2) 31 图2. 7 初始网格细分k 次后控制顶点到其相应的极限点之间的距离(模型2) 32 图3. 1 细分后的网格与极限曲面 37 图3. 2 基于顶点误差和二面角的度量准则 38 图3. 3 网格面、极限网格面及极限曲面片 38 图3. 4 正则CATMULL-CLARK 细分曲面片及贝齐尔控制顶点 39 图3. 5 奇异曲面片的控制顶点 40 图3. 6 细分参数域 40 图3. 7 极限网格面与极限曲面片之间的误差 42 图3. 8 基于Y 构型的四边形网格自适应细分裂缝消除 42 图3. 9 头部不同阈值下的自适应细分结果 44 图3. 10 层切法刀轨生成过程 45 图3. 11 截交线 切削层边界轮廓生成示意图 47 图3. 13 有效边追踪形成边界轮廓过程实例1 48 图3. 14 有效边追踪形成边界轮廓过程实例2 49 图3. 15 切削区域的判定 50 VIII 南京航空航天大学博士学位论文 图3. 16 细分曲面粗加工刀位规划 51 图3. 17 面部模型的粗加工 52 图4. 1 细分曲面等距原理示意图 55 图4. 2 直接法得到的等距效果 58 图4. 3 反算法得到的等距效果 58 图4. 4 两种等距方法的等距误差 59 图4. 5 双圆弧模型 60 图4. 6 给定端点条件的一个双圆弧族 60 图4. 7 双圆弧类型 61 图4. 8 双圆弧的曲率与调整参数λ 的关系 64 图4. 8 双圆弧的曲率与调整参数λ 的关系(续) 65 图4. 9 不同端点条件下双圆弧曲率差值最小时连接点位置 67 图4. 10 等距面刀轨生成实例 68 图4. 11 双圆弧拟合误差 69 图4. 12 变形等距面刀轨生成实例 70 图4. 13 等高层切法粗加工实例 71 图4. 14 逼近等残留高度双圆弧刀具路径 71 图4. 15 等间距直线 磨牙修复体加工结果 73 图4. 18 磨牙修复体零件的加工误差 74 图4. 19 鼠标零件模型 75 图4. 20 不同刀具路径加工的鼠标零件 76 图4. 21 鼠标零件的检测过程 76 图4. 22 鼠标模型加工误差 77 图5. 1 三坐标曲面加工原理 80 图5. 2 走刀行距与残留高度的关系 81 图5. 3 曲面倾斜角度对残留高度的影响 81 图5. 4 等距面变形原理 82 图5. 5 最小内角最大准则 83 图5. 6 离散曲率计算示意图 83 图5. 7η 与θ 和r / k 之间的关系 85 k k b k ov ov ov i i i IX 细分曲面数控加工关键技术研究 图5. 8 点法矢求取示意图 86 图5. 9 刀位点法矢求取示意图 87 图5. 10 等残留高度刀轨生成流程图 88 图5. 11 等残留高度刀轨生成实例一 89 图5. 12 等距面刀轨生成实例 90 图5. 13 等残留高度刀轨生成实例二 90 图5. 14 自行车座椅的加工结果 91 图5. 15 加工零件的测量数据 91 图5. 16 人面部模型加工结果 92 图5. 17 人面部模型鼻头处的加工误差 93 图6. 1 系统体系结构 94 图6. 2 系统主界面 95 图6. 3 系统功能菜单 96 图6. 4 自适应细分界面及结果 96 图6. 5 粗加工界面及结果 97 图6. 6 细分次数计算界面及实例 97 图6. 7 等距面生成界面 98 图6. 8 三轴及多轴加工刀具轨迹 99 图6. 9 实验所用机床 99 图6. 10 三维形貌仪测量过程 100 图6. 11 零件加工过程 101 图6. 12 人面部模型三轴逼近等残留高度加工结果 102 图6. 13 鼠标模型三轴逼近等残留高度加工结果 102 图6. 14 自行车坐椅模型多轴逼近等残留高度加工结果 102 X 南京航空航天大学博士学位论文 表目录 表 1. 1 传统参数曲面模型常用刀轨生成方法 8 表 1. 2 三轴精加工刀轨生成方法 11 表2. 1 细分次数比较((模型1)) 30 表2. 2 细分次数比较(模型2) 31 表3. 1 自适应细分与均匀细分的结果比较 43 表3. 2 自适应细分模型( 图3. 9C)粗加工数据 51 表3. 3 均匀细分模型( 图3. 9E)粗加工数据 52 表4. 1 双圆弧曲率与调整参数λ 的关系( mm−1 ) 63 表4. 2 双圆弧曲率差值与调整参数λ 的关系( mm−1 ) 63 表4. 3 图4. 10(C) 中直线 XI 细分曲面数控加工关键技术研究 注释表 中文全称 英文全称 英文缩写 计算机辅助设计 Computer Aided Design CAD 计算机辅助几何设计 Computer Aided Geometric Design CAGD 计算机辅助制造 Computer Aided Manufacturing CAM 计算机图形学 Computer Graphics CG 数控 Numerical Control NC 非均匀有理B 样条 Non-Uniform Rational Splines NURBS 控制网格 Control Mesh 控制顶点 Control Point 曲面造型 Surface Modeling 细分曲面 Subdivision Surface C-C细分 Catmull-Clark Subdivision C-C 细分矩阵 Subdivision Matrix 逆向工程 Reverse Engineering RE 左特征向量 Left Eigenvectors of Subdivision Matrix 右特征向量 Right Eigenvectors of Subdivision Matrix 自适应细分 Adaptive Subdivision 二阶差分 Second Order Difference 一阶差分 First Order Difference XII 承诺书 本人声明所呈交的博士学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致 谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果,也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 (保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名: 日 期: 南京航空航天大学博士学位论文 第一章 绪论 1.1 引言 随着科学技术的不断发展,制造业作为人类社会最基本的生产活动之一,也正经历着一场 深刻的技术革命[1] 。作为制造业的一种重要技术,CAD/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Manufacturing ,计算机辅助设计/计算机辅助制造)的应用发展已经引起了社会和生产的 巨大变革。并且CAD/CAM 技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家技术发展水平和工业 现代化水平的重要标志[2] 。数控加工(NC Machining )是一种高效率、高精度以及高柔性的自 动化加工方法,是CAD/CAM 的加工执行单元,也是现代自动化以及数字化生产加工技术的基 础及关键技术。 零件的生产制造可以通过数控加工来实现,其主要内容包括根据给定的零件加工要求进行 加工的全过程,其涉及的内容如图1. 1 所示,核心部分为数控编程(NC Programming)[3-4] 。概括 地说,数控编程的关键技术有零件的几何建模、加工方案与加工参数的合理选择、刀具轨迹生 成、数控加工仿真及后置处理。细分曲面既可以表示任意拓扑结构的曲面又是样条函数和多边 形网格的结合体,是当前CAD/CG/CAGD 领域的研究热点之一,也将是未来CAD 造型系统发 展的一个重要方向。一种新的造型方法要想取得长远的发展,探讨其在工程领域的应用必不可 少。本章首先综述了曲面造型技术的发展概况,然后阐述了常用的数控加工刀轨生成技术,指 出了细分曲面数控加工存在的问题,最后结合课题的研究意义给出了本文的主要研究内容。 1.2 曲面造型技术概况 复杂形状零件的几何建模是数控加工的首要环节,曲面造型技术是零件建模的基础及工具, 其实质是把零件的几何形状及其各种属性转换为适合于计算机处理的几何模型的过程,即该几 何模型既适合计算机处理,有效地满足零件的形状表示与几何设计要求,又便于形状信息传递 和产品数据交换。根据转换后的几何模型提供的各种信息,可以进行零件的所有后置处理如数 控加工、物性计算、有限元分析等操作[5] 。由于CAD/CAM 领域对任意拓扑结构的曲面造型的 需求变得日益迫切,因此为了顺应这一需求,曲面造型技术也在不断发展,目前存在隐式曲面 建模、基于形状混合的曲面建模等多种高级建模方法,但从拓扑结构表达方式来看主要包括两 类:参数曲面建模和任意拓扑结构建模。 1 细分曲面数控加工关键技术研究 实体模型 图纸 CAD 文件 加工要求 数字化测量 建模 仿 仿 测量过程规划 加工过程规划 真 真 数控编程 评 评 测量轨迹 价 价 刀具轨迹生成 优 优 测量运动指令生成 化 化 机床运动指令生成 有效测量代码 有效加工代码 数控系统 结果评价 伺服驱动系统 传感系统 数控机床 加工、检 测量数据 测 测量机 机床主机 图1. 1 产品零件制造过程及内容 1.2.1 参数曲面建模 曲线曲面基本理论的形成开始于20 世纪60 年代,随后相继出现了参数曲线曲面理论、贝 齐尔方法、B 样条和NURBS 方法等。然而欲在几何设计系统中引入各种自由型曲线曲面描述 方法,将会使系统变得十分庞杂。由于NURBS 除可包容非有理与有理贝齐尔和非有理B 样条, 还可对二次曲线曲面进行精确表达,因而可用NURBS 对CAD/CAM 中的几何形体建立起统一 的数据表达。为此,国际标准化组织(ISO )于1991 年颁布了关于工业产品数据交换的 STEP 国际标准,把NURBS 作为定义工业产品几何形体的标准数学表达,其提出的目的在于:它既 [6] 能与描述自由曲线曲面的B 样条方法等统一,又能对二次曲线曲面进行精确表达 。 然而在CAD/CAM 的应用中,往往需要设计一些具有复杂型面的零件,这种零件仅用单张 曲面是难以表达清楚的,即采用参数曲面(如B-splies 、NURBS 等)表达并非理想形式,这主 2 南京航空航天大学博士学位论文 要是因为单一的参数曲面仅限于表示在拓扑上等价于一张纸或一张圆柱面的曲面,难以表示任 意拓扑结构的曲面,因此需要多个曲面的组合来进行描述。组合曲面是由多张单一曲面经过求 交及集合运算,也即通过裁剪及拼接而获得。在组合曲面中,各组成曲面之间虽然保证了位置 连续,但却不能保证切矢连续和曲率连续,因此这样的曲面在连接处显然不光滑。此外在数控 加工中,曲面间也往往需要用过渡曲面来拼接[3] 。无论是裁剪还是拼接都是昂贵的且存在一定 的误差,目前的CAD/CAM 系统都不能自动地解决这个问题。 1.2.2 任意拓扑结构建模 多边形建模 多边形建模方法是一种非常直观的建模技术,在许多游戏与三维动画中应用甚为广泛。事 实上,多边形建模是将曲面离散为一系列的小平面,并且每一个小平面都是由多条边组成的一 个封闭面,其主要含有三个构成元素即顶点(vertex )、边(edge )和面(face )。它克服了NURBS 建模的主要难题,可以表达任意拓扑形状的形体,具有计算简单、数值稳定性好以及显示率高 等优点。在实际应用中,曲面通常离散为一系列三角形。融合逼近理论、数值分析、微分几何 [7-9] 。目前,多边形建 以及计算几何等理论,人们已经开发出很多高效的算法来处理多面体模型 模技术已应用于CAD 造型系统,如在3-matic(基于数字化CAD 的正向工程软件)软件中,其所 有操作都是基于数字化的形式(基于三角片)进行处理,可以减少逆向工程与传统CAD 之间循环 的反复,直接由多边形网格文件进行后续RP&CAD&CAM 处理,其可以实现的典型功能有: ①可以实现在表达形体质量稳定的情况下缩减三角片数量,同时提升三角单元网格的质量,即 优化后的三角网格不会出现狭长三角形;②可以添加结构或者去除特征,比如添加一些通过扫 掠方式得到的结构,或者去除一些特征(如圆角) ;③可以划分体网格,即在面网格的基础上直 接划分体网格;④提供多种接口将网格输出到第三方软件,如可以将文件转化为*.iges 和 *.STEP 文件格式,从而可以实现刀具路径生成工作。 此外,现有的商业化CAM 系统多采用多边形模型进行加工,并且STL 模型也被用于快速 成形制造等领域,可以说多边形网格曲面已经广泛应用于制造业。因此,有人将其看作NURBS 曲面的扩展和补充,在制造领域多边形网格曲面已经成为事实上的标准。图1. 2 是分别采用参 数曲面建模及多边形建模方法得到的鼠标模型。由图1. 2 可以看出采用多边形建模消隐后的模 型比采用参数曲面建模消隐后的模型看起来粗糙,要想更好地逼近自由曲面,需要使用大量的 小平面。然而要存储小平面的相关顶点、边和面的数据将消耗大量的计算机内存,这将导致运 行速度变慢,尽管可以通过提高硬件的性能来提高系统的处理能力,但硬件的处理能力永远是 有限的,例如当显示缓冲区的刷新率、网格带宽等在一定条件下都是固定的,即使采用先进的 图形工作站也无法满足人们无限的需求,同时由于多边形网格曲面只能保证C0 连续,故其在满 3 细分曲面数控加工关键技术研究 足零件制造领域的离散性要求时不能同时满足零件建模的的连续性要求,因此多边形网格曲面 不能同时满足零件设计和制造的要求,即单纯的多边形建模技术已经不能适应新一代 CAD/CAM 系统的造型要求。 虽然许多CAD 系统可以将NURBS 曲面转化为多边形网格模型,但在转化过程中可能会引 起误差最终导致零件的一些几何特征消失,因此需要寻找一种既能表示光滑模型又能表示离散 模型的几何表示形式,细分曲面(Subdivision Surface)正是在这种情况下发展起来的。 (a) 参数曲面模型 (b) 多边形模型 (c) 消隐后的多边形模型 图1. 2 不同建模方式表示的鼠标模型 细分曲面建模 细分曲面既可以表示任意拓扑结构的曲面又是样条函数和多边形网格的结合体,即可以看 作是由控制网格定义的连续曲面,又可以看作是离散网格曲面,这个特性使得细分曲面既适用 [10] 于设计又适用于制造 。 1 定义 细分曲面就构造方式而言是一个网格序列的极限,即对给定的初始控制网格,采用一定的 细分规则增加新的顶点形成新的网格拓扑,目前已有多种细分方法[11-24] 。图1. 3 解释了细分的 过程,其中(a)表示基网格;(b)表示按Catmull-Clark 细分规则细分一次后的结果;(c)表示细分4 次后的网格。细分曲面造型技术实际上是一种由粗到细地构造光滑多项式网格曲面的多分辨率 造型方法。 2 细分曲面的优越性 细分曲面与NURBS 和多边形建模相比较,具有如下优势: 4 南京航空航天大学博士学位论文 [25-27] (1) 与NURBS 曲面建模技术比较,细分曲面可以处理任意拓扑结构的曲面 :细分计算 模板在数学上已被证实可在控制网格上构造 B 样条或箱样条(Box-Spline )曲面,这说明细分 曲面实质上也是一种参数化曲面,即其具有参数化曲面的形状调控能力。此外,细分曲面可以 用简单的多边形完成曲面的整体拓扑定义,即可以生成任意拓扑结构的曲面,这对于经典的样 条方法来说是很困难的。这里的“任意拓扑”具有两种特点,首先网格及相应曲面的拓扑亏格 (Genus)可以是任意的,其次由网格边和顶点组成的图形也是任意的,特别地,顶点的度可以 是任意的。 (a) 初始网格 (b) 细分一次后的网格 (c) 细分4 次后的网格 图1. 3 Catmull-Clark 细分过程 [90] :对于参数曲面而言, (2) 与NURBS 曲面建模技术比较,细分曲面具有简单性和稳定性 计算每个点的坐标一般要先计算多项基函数的数值,而细分曲面计算新插入点的坐标时只将其 1-邻域上的顶点作线性叠加即可得到。特别是插值细分,细分曲面并不需要像参数化方法那样 通过求解线性方程组反算控制点,从而避免了数值计算不稳定的可能性,而利用NURBS 方法 反算还必须慎重处理参数节点区间的分割和权因子的问题。 (3) 与NURBS 曲面建模技术比较,在工程领域的实际应用如快速原型制造和数控加工中, 参数曲面模型即分片光滑连续的几何模型还必须被离散化,它实际上是一个离散-连续-离散的 过程,这种过程往往随着模型的复杂度而代价增加;细分曲面其本身就是一个离散的过程,因 而在工程领域无需再离散化,是一个离散-离散的过程,它避免了生成连续模型的复杂的中间过 [90] 程 。 (4) 与多边形建模技术比较,细分曲面可以生成光滑的曲面[28-29] :多边形建模技术虽然克 服了参数曲面建模不能表示任意拓扑结构的缺点,但是只能保证C0 连续。细分曲面的控制网格 实质上就是多边形模型,在不断细分过程中使得该多边形模型趋于精细,文献[28]证实了 2 1 Catmull-Clark 细分产生的极限曲面达到C 连续仅在奇异点处C 连续。 由此可见,细分曲面保留了NURBS 曲面建模与多边形建模技术的优点,即可以描述任意 拓扑结构的复杂曲面,并保持曲面的整体连续性。 5 细分曲面数控加工关键技术研究 3 细分曲面的发展及应用现状 细分曲面从 90 年代初期到现在,受到了人们的普遍关注,并在计算机动画、逆向工程、 CAGD 等领域得到了广泛的应用[30-33] 。其中一个比较突出的应用是细分曲面在动画领域的应用。 目前,细分曲面已融入到计算机动画造型软件中,如3DS MAX、Maya 等,此外,细分曲面已 作为动画数据传输的一种标准,并成为 MPEG4(Moving Pictures Experts Group) 标准中 AFX(Animation Framework Extension)模块的技术之一。 曲面重构技术是逆向工程的关键技术之一,传统的曲面重构技术是将散乱数据点拟合成多 边形网格或样条曲面。无论采用多边形网格还是样条曲面,都具有一定的局限性:如采用多边 形网格拟合时其面片的数量不容易修改,当发现拟合精度不够时需要重新计算拟合;而采用样 条曲面拟合时主要是用B 样条曲面分片拟合,这样势必要对多张B 样条曲面进行拼接。由于细 分曲面具有多边形网格模型和样条曲面所具有的优点,人们自然而然想到用细分曲面拟合散乱 数据点,虽然细分曲面拟合的模型与实际零件还存在误差,但是人们并没有放弃细分曲面在逆 向工程中应用的研究。Weiyin Ma[34-35]等研究了Catmull-Clark 曲面拟合散乱数据点,其拟合结 果(如图1. 4 所示)可以很好的逼近原始模型。随后,文献[36-37]用Loop 细分曲面拟合三角片密 集的三角网格模型( 图1. 5a),首先对原始网格进行简化得到基网格( 图1. 5b),然后运用细分规 则和极限点计算方式得到拟合公式,最后用最小二乘法使得细分曲面( 图1. 5c)可以很好地拟合 初始控制网格上的顶点,在拟合过程中还可以保持初始模型本身具有的尖锐特征。上述实例说 明了细分曲面在逆向工程领域的实用性,但由于细分曲面上的点不是显式给出,给曲面的几何 计算等带来一定困难;随着细分层次的增加,网格的面片数增长速度往往过快,这也不利于对 模型进行后续处理,当前细分重建方法的研究以提高处理网格模型的规模及重建速度为主。 图1. 4 Catmull-Clark 细分曲面拟合数据点 由于细分曲面在造型领域的运用主要是使得零件具有较好的光顺性从而满足视觉效果,而 工程领域则更注重零件的几何精度等问题。因此作为一种新颖的造型工具,从长远发展应用的 6 南京航空航天大学博士学位论文 角度来看,讨论其能否应用于工程领域也尤为重要。下面根据现有的文献介绍细分曲面在工程 中的应用现状。 ①有限元分析中的应用:Cirak[38]首先研究了细分曲面在薄板零件有限元分析中的应用,为 细分曲面在工程中的应用拉开了帷幕。 ②快速成型领域的应用:在快速原型制造中,物体的几何模型通常由CAD 软件或3D 造型系 统生成,然后存储成STL 文件,接着传输到快速成型系统中,按一定的分层厚度进行分层切割, 进而制造成为实体,但是这样很难保证所生成的实体表面的光滑度。由于细分曲面具有的内在 多分辨率属性,模型并不需要重新由造型系统生成就可以在原来模型的基础上生成满足给定精 度的几何模型,因此Suzuki[39]等人将细分曲面应用于快速原型系统,研究了细分曲面在快速成 型中的应用,从而提高了模型表面的光滑度,缩短了产品的开发周期。 ③CAM 领域的应用:2001 年,Kurgano 等[40]研究了细分曲面的数控加工刀轨生成算法,即 在细分曲面的等距面上采用截面法生成其加工刀轨,这标志着细分曲面作为一种新的造型工具 [88] [26] 也可用于 CAM 中。随后,唐虹 在 Kurgano 的基础上采用刘浩 提出的重构方法讨论了 Catmull-Clark 细分曲面的逼近等距面生成方法并给出了其三轴刀轨生成算法。为了使细分曲面 在CAM 领域取得更广泛的应用,文献[41]对Loop 细分曲面的等距曲面的逼近方法进行了详细 的讨论,其核心思想是:根据控制顶点在 Loop 细分曲面上的位置,按照给定的等距值沿其法 矢方向等距,通过解线性方程组求出等距后的控制网格;文献[25,42,116]探讨了带边界和带折 痕的Loop 细分曲面的等距。袁鸿[27]对Catmull-Clark 细分曲面的求交、裁剪及布尔运算进行了 系统的研究,这些为细分曲面能应用于工程领域奠定了理论基础。此外,也有学者对细分曲面 的刀轨生成算法进行了探讨,详细的论述见1.3.3 节。 综上所述,细分曲面技术已得到广泛的关注,并已成为 CADGD/CG 领域的研究热点,将 是今后的CAD/CAM 系统发展的一个重要方向。 (a)原始三角网格模型 (b) 简化后的基网格 (c) Loop 细分曲面 图1. 5Loop 细分曲面拟合三角网格模型 7 细分曲面数控加工关键技术研究 1.3 数控加工刀轨生成技术概况 1.3.1 基于曲面模型的刀轨生成技术 参数曲面模型在工程曲面造型领域占有重要的地位,因此人们对其刀具轨迹生成方法也进 行了大量的研究,目前,比较常用的方法及其优缺点见表1. 1。 表 1. 1 传统参数曲面模型常用刀轨生成方法 方法名称 过程描述 优缺点 以被加工曲面的等参数线作 优点:算法简单,计算量小; 等参数线 为刀具接触点路径来生成刀 缺点:使用范围小,仅适用于参数线分布均匀的 法 具轨迹 曲面 采用一组截面(可以是平面, 优点:走到路线控制灵活,刀具接触轨迹分布均 也可以是回转面)截取加工表 匀,具有较高的加工效率,适用于各种类型的曲 面,获得一系列交线,刀具 面; 截面法 与加工表面的切触点沿着这 缺点:平面与曲面或者曲面与曲面的求交需要使 些交线运动,完成加工 用迭代法,计算量大且不稳定,在求交时通常将 曲面离散为多面体网格,即将参数曲面转化为多 面体模型进行加工 定义导动面和检查面,使刀 优点:其基本概念和思想深刻影响了数控自动编 具沿某一方向移动且保持与 程系统的发展,采用零件面、导动面和检查面产 零件表面与导动面相切 生刀具轨迹的思路至今仍是许多数控编程系统 的基本框架; 导动面法 缺点:采用数值迭代的方法计算刀具到零件面和 刀具到检查面的法向距离,使该距离保持在指定 的误差范围内,计算复杂且耗时,另外对于不规 则的曲面则不能保证迭代计算一定收敛。 已知一条刀具轨迹时,通过 优点:加工后的残留高度均匀,即加工后曲面表 等残留高 数值迭代计算求出另一条轨 面粗糙度均匀,且该方法计算的刀具轨迹较短, 度法 迹,使得相邻两条刀具轨迹 加工效率高; 间的等残留高度相等 缺点:迭代计算复杂、有误差积累且不易收敛 1.3.2 基于离散模型的刀轨生成技术 精确的刀具轨迹规划算法是数控编程的灵魂。目前,现有的商业化CAM 系统(如UG 、CATIA 8 南京航空航天大学博士学位论文 等)多采用多面体模型进行加工,即将参数曲面模型转化成多面体模型(Polyhedral Models),因 此这种先将曲面模型转化为多面体模型再生成刀具轨迹的方法有时也被称为多面体加工方法, 其实质上可以归结为离散模型的加工。Duncan 等人[43-45]在其研制的POLYHEDRAL NC 复杂曲 面加工系统中首次将复杂的曲面离散成简单的由三角片构成的多面体,这拉开了离散模型在数 控加工占领重要地位的帷幕。 粗加工 粗加工是从零件毛坯上快速切除多余的材料,其考虑的重点是加工效率,通常情况下采用 [3] [46-49] 两种方法:偏置法和层切法 。偏置法 是根据预先设定的加工余量、刀具半径等参数,计 算曲面的等距面,然后在等距面上规划刀具轨迹。由于该方法仅适用于当毛坯形状与零件形状 相似的情况,如铸造与锻造毛坯,因此在实际应用中受到一定限制。层切法是用一系列假象水 平面与零件面和毛坯边界截交,得到一系列二维切削层,然后用平底刀对各切削层进行加工。 因其刀轨被限制在二维平面内,具有计算简单直观的特点而得到了广泛的应用。事实上,在诸 如UG NX ,CATIA,Cimatron ,MasterCAM 等商业CAM 系统中,层切法已经成为典型的粗加 工方法。层切法主要包括两个方面:在切削层上构造切削区域边界轮廓和在切削区域内规划刀 [50] 具轨迹 。 1 构造切削区域边界轮廓 对于曲面模型,在计算切削区域边界轮廓时采用被加工零件的表面与平面直接求交得到交 线,然后对交线进行组环得到边界轮廓。适用于适用于各种组合曲面,通用性强,但是平面与 曲面求交计算需要使用迭代算法,计算量大且不稳定,另外由于系统的判断精度或模型的缺陷 (间隙和重叠)会造成交线不连续,经常导致组环失败,尤其当被加工曲面数量很多时,交线 组环更加困难。对于离散模型,在计算切削区域边界轮廓时采用切平面与离散模型(如三角片模 [51-54] [55] 型 或四边片模型 )直接求交得到交线段,将交线段组环得到边界轮廓。离散模型在计算交 点时采用平面与平面求交,计算简单稳定,但是其组环效率较低[52] ,其组环复杂度为O m2 。 ( ) 文献[56]在组环过程中引入扫掠线的概念,使得其复杂度降低为O (m log m) ,Rock[57]等提出了 利用三角片之间的拓扑结构根据一条相交边搜索下一条相交边,从而省去组环过程。此外, Park[52,58]将零件模型转化为Z-map模型,在切削层上构造二值图像,采用行程编码记录属于物体 的像素点,用递归函数完成边界提取,文献[50]在此基础上提出了基于行程编码的边界追踪算 法,根据行程之间的连通关系追踪切削区域边界,解决了传统边界轮廓提取方法中边界连接组 环困难的问题,复杂度为O n (这里m 为切削层内交线的数量,n 为行程编码的数量) 。 ( ) 2 切削区域内规划刀具轨迹 刀具轨迹规划的方法通常有两种:行切法加工[59-61]和环切法加工[62-64] 。行切法加工中,首 先确定走刀路线的角度,然后根据刀具半径及加工要求确定走刀步距(stepover),接着根据零件 9 细分曲面数控加工关键技术研究 外形、刀具半径和加工余量计算各切削行的刀具轨迹,最后将各行刀具轨迹线段有序连接起来, 连接的方式可以是单向(one way),也可以是双向(zig-zag),刀具轨迹计算比较简单。 环切法加工一般沿边界走等距线,刀具轨迹计算相对比较复杂,在一定意义上可以归结为 平面封闭轮廓曲线的等距线计算。由于在计算等距线时要考虑等距线的自交和互交等问题,因 此现代比较先进的环切加工刀具轨迹计算方法是将待加工区域分成若干个子区域,每个子区域 均可用大刀具进行粗加工,最后用小刀具进行精加工成形。Voronoi 图是一种有效的环切加工子 区域划分方法,其核心思想是每个子区域内的所有点距封闭轮廓曲线的某一段轮廓边最近,当 子区域划分结束后,在每个子区域内构造对应轮廓边的等距线,可以保证作出的等距线] 确衔接,避免了不同等距线之间的求交、干涉检查和裁剪处理等 。 三轴精加工 三轴加工中刀具轴线方向始终不变,因此其刀轨计算相对五轴加工而言要容易一些,在实 际生产中,大约80%-90%的零件都可以用三轴加工来完成,因此三轴刀具轨迹生成技术一直是 研究的重点。针对离散模型,就其刀具轨迹生成的原理和算法,主要有以下几种,详情见表1.2。 多轴加工 多轴数控加工( 四轴或五轴)是为了克服三轴加工的不足而发展起来的一项先进制造技术。 与三轴数控加工相比,多轴加工有着不可替代的优势,如:五轴加工大大扩展了工艺范围,提 高了加工质量和效率等,这些优势使得五轴加工成为数控加工领域至为重要的一种关键技术。 但由于五轴加工也存在很多难点[65] ,譬如:五轴数控编程抽象、操作困难;刀具半径补偿难度 大;存在非线性误差和奇异性问题等,因此五轴加工一直没能在更多的行业获得广泛应用。 针对传统的参数曲面的多轴数控加工[66-70] ,国内外许多学者已经进行了深入的研究,然而 对多面体模型的研究却甚少。Li 等[71]利用被加工零件的多面体模型生成五轴平底刀铣削刀具轨 迹,该方法通过调整刀具的前倾角来避免干涉。张和明等[72]改进文献[71]的方法,将被加工曲 面和刀具分别离散成两组三角片,通过判断两组三角片是否相交以及相交三角片的进行求交计 算来检测被加工曲面是否与刀具发生干涉。 由于五轴加工的类型多样,加工型面复杂,多数方法只能对部分类型曲面的五轴加工有效, 某些方法还存在算法不稳定、步骤复杂、计算量大等不足,因此至今国内外的众多学者仍然在 探索一种既具备良好的通用性、计算简便性,又具有较高加工质量和加工效率的规划方法。 10 南京航空航天大学博士学位论文 表 1. 2 三轴精加工刀轨生成方法 刀具轨迹 文献 过程描述 生成方法 CC路径截面线法即刀触点法生成刀具轨迹的实质是截平面与被加 工的离散模型求交得到一系列点即刀触点,然后计算其相应的刀位 点,从而生成无干涉的刀具轨迹; CC(Cutter 刀触点法 文献[75]对与截平面相交的每个边界边进行点法矢插值,并通过线 Contact) [73-75] 面截交得到精确的刀触点,最后通过构造曲线跨界切矢得到刀触点 路径截面 [126] 处曲面法失,从而得到刀位点轨迹; 线]直接计算截平面与三角网格的交点,然后过该刀触点建立 微切平面,并将该平面的方向矢量作为刀触点处的法向矢量从而求 得刀位点。 CL路径截面线法即等距面法的实质是先计算被加工曲面的等距面, 再用截平面和等距面求交得到刀具轨迹; 文献[76-78]采用顶点偏置法构造三角网格模型的等距面,先计算各 顶点的平均单位法矢,然后沿法矢方向偏置三角片顶点从而形成等 距面; CL(Cutter Jun[79]等提出了一种更精确的三角网格模型等距算法,根据三角片 Location) 等距面法 模型的局部凸凹特性将三角片的顶点和边进行分类,再根据属性分 路径截面 [76-82] 别偏置顶点、边和三角面片从而得到等距模型; 线]根据三角片顶点附近的三角面的法矢确定三角片各顶点处 的多个法矢,然后对三角片的面、边和顶点分别等距,得到等距面; 文献[9]计算等距面的方法和上述文献不同,根据刀具几何信息计算 三角片偏置响亮,然后刀具反转轮廓沿着三角片的边扫掠得到等距 面; 上述文献均采用一组导动平面与等距面求交并整理交线]提出了三角网格模型的等残留高度法,通过计算等距面上 网格点的倾斜角度及离散曲率来确定其变形率,然后计算变形后的 等残留高 等距曲面,最后通过截平面与变形后的等距模型求交并经过逆变形 文献[83] 度法 到原始空间从而获得残留高度均匀的无干涉的刀具轨迹。这种路径 规划方法相对于其他算法所规划的刀具路径总长度较短,是一种高 效的加工方法。 11 细分曲面数控加工关键技术研究 1.4 细分曲面刀轨生成技术及存在的主要问题 1.4.1 细分曲面刀轨生成技术 自细分概念提出到现在,细分曲面在曲面造型领域已经取得了长足的进展,受到越来越多 学者的关注,成为当前CAD/CG/CAGD 领域的研究热点之一,将是未来CAD 造型系统发展的 一个重要方向。一种新的造型方法要想取得长远的发展,探讨其在工程领域的应用必不可少。 从系统的角度看,目前尚没有学者对细分曲面在 CAM 领域的应用进行系统的研究,这主要是 因为人们不能确定细分曲面是否可以用于CAM 中。事实上,2001 年,Kurgano 等人[40]提出的 Catmull-Clark 细分曲面的数控加工刀轨生成算法已经证实了细分曲面作为一种新的造型工具也 可用于 CAM 中,这同时也拉开了细分曲面用于CAM 领域的帷幕。随后,国内外的工程技术 人员针对不同的细分曲面提出了不同的算法,就其确定无干涉刀具轨迹的原理和算法,可归纳 为以下几种: 1 S-Buffer 算法 戴军富[84]等人最早提出了Doo-Sabin 细分曲面的粗加工刀具轨迹生成算法,主要思想是: 利用Doo-Sabin 细分曲面具有的逐步逼近的多分辨率特性和误差公式,根据加工误差确定控制 网格的细分次数,并改进了传统的 G-Buffer 技术,提出了基于条带(strip)分块的粗加工刀具轨 迹生成算法——S-Buffer 。随后,文献[85]将该算法应用于 Catmull-Clark 细分曲面,实现了 Catmull-Clark 细分曲面的粗加工。 2 Z-map 法 Z-map 法就是用离散的点阵数据表示被加工曲面或其刀位面从而计算刀具轨迹的方法,在 参数曲面模型和多面体模型的刀轨生成算法中都可以使用。Wu[86]等人首次将 Z-map 模型引入 到细分曲面中,考虑到细分后的网格不一定能完全包围细分曲面,因此提出了覆盖网格的概念 并给出了覆盖网格的生成方法,以此代替细分后的网格生成粗加工刀轨,然后利用细分曲面的 LOD(Level of Detail)特性探讨了Loop 细分曲面的精加工刀轨生成算法。 3 截平面法 截平面法因其具有走刀路线控制灵活、生成的刀具轨迹分布均匀等特点被广泛使用。文献 [40]最先应用截平面法对Catmull-Clark 细分曲面的刀轨生成算法进行了探讨,即首先生成细分 曲面的等距面,然后计算截平面与等距面的交线从而生成刀轨。由于该文献在计算过程中并没 有考虑等距面的误差控制,因此钟大平[87,25]等人在2004 年以Loop 细分曲面为研究对象,在探 讨等距面误差控制的基础上给出了刀轨生成算法。随后,唐虹[88] 、大连理工大学的赵建民[89] 等将这种误差控制策略推广到了基于四边形网格的Catmull-Clark 细分曲面上,并给出了其刀轨 生成算法。文献[90-91]针对细分控制网格与细分极限曲面逼近度的问题进行了研究,给出了 3 12 南京航空航天大学博士学位论文 细分曲面的误差估计公式,并结合该公式给出了 3 细分曲面的刀具轨迹生成方法。上述文献的 研究重点均集中在数控加工对细分曲面的造型要求上,Lu[10]等人则重点讨论了在应用截平面法 计算刀轨的过程中,如何更好地控制加工精度,根据文献[92]对加工区域进行分解,在不同的 区域采用不同的走刀行距从而达到无论在零件的陡峭区域还是平坦区域,均能保证零件的加工 精度。 1.4.2 存在的主要问题 自细分曲面概念提出到现在已经有学者研究了多种细分方法,如Loop 细分、Doo-Sabin 细 分、 3 细分等,考虑到Catmull-Clark 细分曲面是均匀B 样条曲面的推广,且和NURBS 曲面 可以互相转换[93] ,因此本文主要讨论Catmull-Clark 细分曲面的刀轨生成技术。就Catmull-Clark 细分曲面数控加工现状来看,需要解决的问题主要体现在以下几个方面: 1) 粗加工模型构造:细分曲面是一个网格序列的极限,随着细分次数的增加其控制网格规 模也在不断地扩大,由于粗加工更加注重零件的加工效率,因此可以采用细分次数较少、分辨 率较低的网格作为粗加工模型。Catmull-Clark 细分规则是逼近型细分,细分后得到的网格在曲 面的凸起部分不断的向极限曲面收缩,而在其凹入部分则不能完全包围极限曲面,如果以此作 为粗加工曲面则会产生过切,此时需要将控制网格再进行细分使得网格凹入部分能更逼近极限 曲面,这样同样会引起数据量庞大导致计算复杂。因此如何构造一个特征简单且能够完全包围 极限曲面的粗加工网格需要研究。 2) 精加工模型构造:不同细分层次的网格作为加工模型最后得到的加工结果不尽相同,且 随着细分次数的增加控制网格的规模也成指数级不断增加。为了对细分曲面进行加工,通常根 据用户给定的误差来构造加工模型,并用满足误差要求的网格代替目标曲面进行刀轨规划。由 于加工模型的构造直接影响到刀具轨迹的精度和生成的效率,实际加工中有大量的带边界的模 型,因此需要对带边界的细分曲面的细分深度估计方法进行研究。 3) 刀具轨迹生成方面:粗加工是零件的实际加工中不可缺少的步骤,细分曲面实质上仍然 是一个离散的网格,因此层切法可以用于计算细分曲面的粗加工刀具轨迹。在层切法过程中, 切削层上构造切削区域边界轮廓的效率对粗加工刀具轨迹生成的效率有很大的影响。因此如何 充分利用细分曲面具有的任意拓扑结构快速地构造切削层上的切削区域边界轮廓有待研究。 精加工算法决定了零件的精度及加工质量,其中残留高度可以视为评价零件加工精度的一 个指标,因此针对细分曲面如何生成等残留高度刀轨有待研究。 4) 多轴加工刀具轨迹生成方面:在实际应用中多轴加工技术是不可缺少的,然而当前针对 细分曲面的多轴刀具轨迹生成算法还未见到,因此研究其多轴加工技术必不可少。 综上所述,Catmull-Clark 细分曲面的刀具轨迹生成技术还缺乏系统的研究,鉴于此,本文 13 细分曲面数控加工关键技术研究 所从事的工作极具理论指导意义和实际应用价值。 1.5 课题研究意义和研究内容 1.5.1 课题研究的意义 随着机械制造业的蓬勃发展,社会对产品多样化的要求日益强烈,产品更新越来越快,在 航空工业、汽车工业等行业复杂形状的零件越来越多,精度要求越来越高。数控技术是制造自 动化的基础技术和关键技术,广泛应用于机械﹑汽车﹑航空等国民经济的支柱产业,因此,《国 家中长期科学和技术发展规划纲要(2006-2020 )》已将“高档数控机床与基础制造技术”列为 [94] 重大专向,并将“数字化和智能化设计与制造”作为制造业优先发展的主题之一 。 正如前文所述,虽然NURBS 方法已经成为定义工业产品数据交换的 STEP 标准,在商业 化软件中也得到了广泛应用,但在计算其刀具轨迹时,NURBS 曲面仍然需要离散化,这实际 上增加了计算过程。多面体模型虽然在商业化软件中得到了广泛应用,但由于NURBS 和多面 体模型都不能很好的将复杂形状零件的设计和制造要求完美地统一起来,因此需要寻找一种既 能表示光滑模型又能表示离散模型的几何表示形式。细分曲面正是在这种情况下发展起来的, 它既可以表示任意拓扑结构的曲面又是样条函数和多边形网格的结合体,即既可以看作是由控 制网格定义的连续曲面,又可以看作是离散网格曲面,这个特性使得细分曲面成为设计和制造 模型相统一的选择。 目前,国内外对细分曲面的研究大多集中在理论和造型技术方面,距离真正应用到工程 CAD/CAM 中还有很多问题需要研究,如基于细分曲面的数控加工技术的研究刚刚起步,还处 于探索之中。为了给 CAM 领域注入新鲜的血液并与造型系统相融合,研究细分曲面的数控加 工显得非常重要。NURBS 是当今CAD/CAM 系统的标准,但单张的NURBS 曲面无法表达复 杂形体,复杂拓扑的形体是通过曲面裁剪和曲面拼接组合来表达的。考虑到Catmull-Clark 细分 曲面是均匀B 样条曲面的推广,它可以表示任意拓扑形体,且可以转化为NURBS 曲面,在转 化过程中满足[93,130] :①每一张NURBS 曲面片与细分网格最粗层次上的某个四边面片相对应; ②获得的NURBS 曲面片除了在网格奇异点处是切矢连续外,其余处处是曲率连续;③NURBS 曲面片是端点插值的四阶参数曲面;④NURBS 曲面片与Catmull-Clark 细分极限曲面只在奇异 点处有所不同,在该点处,NURBS 曲面片的曲率是有限的,而Catmull-Clark 细分极限曲面的 曲率是无限的。因此根据文献[93]给出的PCCM 算法,可以将一张Catmull-Clark 细分曲面转化 为多张NURBS 曲面片。此外,文献[130]给出了组合NURBS 曲面转化为Catmull-Clark 细分曲 面的方法,如可以将裁剪曲面转化为 Catmull-Clark 细分曲面( 图 1. 6) 。上述转化方法将 Catmull-Clark 细分曲面与以NURBS 为基础的CAD/CAM 系统有机融为一体,利用Catmull-Clark 细分曲面的特点来弥补NURBS 的不足,如在粗加工时可以采用分辨率较低的网格作为加工模 14 南京航空航天大学博士学位论文 型,从而提高计算效率。因此本文着重研究Catmull-Clark 细分曲面的数控加工刀轨生成方法, 从而建立起细分曲面与数控加工之间的桥梁,扩展细分曲面的应用范围,为后续应用到工程实 际中打下基础。 (a) 原始三边裁剪曲面 (b) 细分曲面的线框模型 (c) 细分曲面光照模型 (a) 原始五边裁剪曲面 (b) 细分曲面的线框模型 (c) 细分曲面光照模型 图1. 6 裁剪曲面转化为Catmull-Clark 细分曲面 1.5.2 主要研究内容 本文着眼于细分曲面技术和数控加工技术的最新发展,以传统数控加工编程技术为基础, 研究细分曲面的刀轨生成算法;运用睿雕Carver400M_RT 数控机床,针对铝合金等材料,对所 研究的算法进行试加工验证。论文共分为为七章,各章之间的组织结构如图1. 7 所示。 本文主要研究工作包括: 1)针对细分后的网格与其极限曲面的逼近问题,提出了带边界细分曲面的细分次数估计方 法,并给出了相应的细分深度估计公式。通过引入初始网格控制顶点的二阶差分和一阶差分, 证明了带边界的Catmull-Clark细分曲面的控制网格按指数速率收敛于极限曲面,利用初始控制 网格顶点到其极限点之间的距离,得出细分深度计算公式,根据事先给定的精度误差和初始控 制网格,利用细分深度估计公式可以预先知道满足该误差的最少细分次数,而不需要进行实际 细分并每细分一次都与精度作比较,这大大提高了计算效率。 2 )针对粗加工对零件模型的要求,提出了Catmull-Clark细分曲面的基于面误差的自适应细 分算法。通过计算极限网格面与相应的极限曲面片之间的距离并与自适应细分阈值相比较,对 15 细分曲面数控加工关键技术研究 不能满足精度的区域进行自适应细分,从而得到递归次数较少、分辨率较低的网格作为粗加工 模型。 3 )针对等高粗加工刀具轨迹生成的效率问题,提出了细分曲面切削区域边界提取方法。通 过引入有效边的概念,充分利用细分曲面具有的任意拓扑性在切削层上进行有效边追踪,有效 地解决了传统边界轮廓提取方法中边界连接组环困难的问题,最终生成切削层切削区域边界轮 廓。 4 )针对数控精加工注重加工精度以及曲面的加工质量的问题,提出了Catmull-Clark 细分 曲面的逼近等残留高度双圆弧曲线刀具路径生成算法。通过计算细分网格控制顶点的变形率, 得到变形等距网格,并采取逆变形的方式将刀轨逆变形至原始空间,为了满足加工表面的光顺 1 性要求,将生成的直线段刀轨用固定调整参数的双圆弧拟合,最终生成G 连续的刀轨。 5 )探讨了Catmull-Clark 细分曲面的多轴刀轨生成方法。通过寻找到刀位点距离小于给定 误差的面片,采用面积均值法计算相应数据点的法矢并生成刀轨。 第一章绪论 第二章细分深度估计 *二阶差分计算细分次数 *一阶差分计算细分次数 精加工 粗加工 第三章粗加工刀具轨迹 第四章三轴精加工刀具轨迹 第五章多轴精加工刀具轨迹 * 自适应细分 *细分曲面等距 *变形原理及方法 *切削区域边界轮廓生成 *等残留高度双圆弧刀具路径 *刀轴矢量计算 第六章系统实现 第七章总结与展望 图1. 7 本文的组织结构 16 南京航空航天大学博士学位论文 第二章 细分曲面的细分深度估计 2.1 引言 细分深度估计问题在细分曲面求交、渲染及细分曲面在实际工程中的应用如数控加工和快 速原型制造等其他领域都具有重要意义。目前常用的细分曲面误差估计方法主要有两种:控制 网格上顶点到其相应的极限顶点的距离估计误差和控制网格面到其相应的极限曲面片之间的距 离估计误差。Wang[95]等人最早利用细分后的控制网格上的点到其极限顶点的距离对Doo-Sabin 细分曲面的误差进行了分析,并将该方法推广到Catmull-Clark 细分曲面,同时提出了处理开网 [96] [90-91] 格的方法 ;随后,吴建煌 等人也利用该方法对 3 细分曲面的误差进行了分析,并给出 了 3 细分曲面的细分深度计算公式。此外,文献[97-98]认为最大距离不一定在顶点处,因此对控 制网格面的误差进行了分析,并分别给出了相应的正则 Catmull-Clark 细分曲面片与奇异 Catmull-Clark 细分曲面片的细分次数计算公式;文献[99-101]在上述基础上改进了计算方法,提 出了更精确的控制网格面误差计算公式。方程部分 2 文献[97-101]提出的细分深度计算方法适用于封闭网格且计算复杂,实际应用中有许多带边 界的网格,为此本文借鉴文献[97-98]的思路及推导方法,给出了边界点的细分深度估计公式。 在分析边界控制顶点一阶差分和二阶差分递推公式的基础上,证明了带边界的Catmull-Clark 细 分曲面的控制网格是按指数速率收敛于极限曲面,利用控制网格顶点与其极限点之间的距离, 给出了一种简单直观的计算带边界的Catmull-Clark 细分曲面的细分次数的方法。 2.2 控制网格顶点在细分曲面上的位置及法矢量计算 2.2.1 内部顶点的极限位置及法矢量计算 针对Catmull-Clark 细分曲面控制网格的内部顶点在细分曲面上的位置计算,Halstead[102]给 出了计算公式,即对于控制顶点v ,V (v , e , , e , f , , f )T ( n 为顶点v 的邻边的个数,称为 i in i 1 n 1 n i 价)是v 的1-邻域顶点构成的列向量,其在细分曲面上的极限点为 i n n 2 n v +4 e + f ∑ ∑ i j j v∞ j 1 j 1 (2-1) i n(n +5) 式(2-1)适用于网格上所有的面均为四边形,因此对于给定的初始控制网格至少要运用 Catmull-Clark 细分规则细分一次。 细分曲面上点的法矢量可以通过对局部细分矩阵S 的特征结构进行分析并计算得到,相应 n [102] 的公式为 : 17 细分曲面数控加工关键技术研究 N∞ c2 ×c3 (2-2) 其中 c l V ,c l V , 2 2 in 3 3 in l ,l 分别为细分矩阵S 对应于次主特征值的左特征向量。 2 3 n 4 +A ∞ n : 对N 进行离散Fourier 变换后,可以得出对于CC 细分曲面内部顶点有λ λ λ , 2 3 16 且  2πj 2πj 2π(j +1) c2 ∑An cos( )e j =+(cos( ) +cos( )) f j  n n n  j   A cos( 2πj )e =+(cos( 2πj ) +cos( 2π(j +1) )) f c3 ∑ n j +1 j +1  n n n  j 2π π 2π 其中 An 1

  ·组蛋白去乙酰化酶5对非小细胞肺癌生物学行为的影响及其机制初探.pdf

  ·细胞色素P4503a4基因894CT、12GA单核苷酸多态性与氯吡格雷抵抗关系的探讨.pdf

  ·组蛋白修饰对pre-mRNA选择性剪接影响的分子机制研究——酿酒酵母中选择性剪接模型的建立及基因表达水平的检测.pdf

本文链接:http://ashtonstewart.net/duomiantijianhua/94.html