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刘徽的形象思维与《九章算术注》中的几何理论

归档日期:06-30       文本归类:多面体简化      文章编辑:爱尚语录

  20 0 1年第6 期山东教育学院学报总第8 8 期刘徽的形象思维与《九章算术注》 中的几何理论戴风明( 盐城师范学院数学系,江苏盐城224 130 2)摘要: 剖析刘微在对《九章算术》 作注时的思维形式, 可发现形象思维为他的创造性工作指明了方向。 这对我们今天的思维科学的研究以及数学教学都具有重要意义。关键词: 刘徽; 形象思维; 九章算术中图分类号: 0112文献标识码: A文章编号: 1001+ - - 2816( 2001)06- - - 0098- - - 02刘徽, 魏晋时期人, 祖籍淄乡( 今山东临淄或淄川一带), 生卒无从查考, 但贡献卓著, 是古代杰出的数学家。 他“幼习《九章》 , 长再详览” , 对《九章算术》 作长期研究后, “总算术之根源, 探赜之暇, 遂悟其意。 是以敢竭顽鲁, 采其所见, 为之作注。 ” 他注释的方法是“析理以辞, 解体用图” , 并形成了以算为主、 形数结合的完整理论体系。 数学史界普遍认为, 如果离开了刘徽的《九章算术注》 , 则很难深入理解《九章算术》 的精髓。 剖析刘徽在对《九章算术》 作注时的思维形式, 不仅使我们从中领略到这位数学家的真知灼见, 而且对我们今天思维科学的研究以及数学教学都具有重要意义。 本文限于篇幅, 仅就刘徽在构建《九章算术注》 几何理论中所显示出的形象思维作一探讨。1. 形象识别与“刘徽原理”阳马术是中算体积理论的核心。 刘徽在其“阳马术注”中提出了著名的“刘徽原理” : “邪解立方得两堑堵, 邪解堑堵, 其一为阳马, 一为鳖腙。 阳马居二, 鳖脯居一, 不易之率也。 ” 并阐述它在古代求积理论中的作用与地位, 可以称得上古代几何理论的精髓。刘徽证明这一原理的出发点是把一般的多面体分解为一些基本的立体。 由于任一多面体可以分割为若干个四面体, 而任一四面体可以分割为六个鳖脯, 所以问题归结为求鳖膈的体积, 即所谓阳马、 鳖腈“功实之主也” 。 其次是怎样求得阳马和鳖脯的体积。 他先把一长方体斜剖为二, 得两堑堵, 再把堑堵斜剖为二, 一个是阳马, 一个是鳖膈。 若将收稿日期: 2001一117作者简介: 戴风明( 19 67 一), 江西响水人, 讲师。长方体改为立方体, 则分割所得的阳马的体积是鳖腈的两倍。 刘徽作了深入的分析后, 得出结论是: 这个论断对一般的长方体也成立。这里, 刘徽是借助于具体形象来展开思维的, 他将立体与堑堵、 阳马、 鳖孺三种基本几何体的特征作形象识别, 其作用是将问题目标的形象分解成基本图形或基本图式, 以便在推导过程中能迅速定向, 认清解决问题的方向或途径。刘徽还用类似的分割方法计算了各种柱、 锥、 台体以及方亭、 方锥、 刍甍、 刍童、 羡除诸形的体积。 这表明刘徽利用形象思维, 在几何问题的处理上并不追求逻辑论证的完美,而凭借巧妙的构图作简单的解体剖析, 从而达到问题的完全解决。 这些都充分表现了古代传统数学构造性的特色。2. 模式补形与“出入相补原理”“方田” 是《九章算术》 的开卷章, 有关面积计算问题主要集中在方田章, 其中搜集了方田、 圭田、 邪田、 箕田、 圆田、宛田、 弧田、 环田等平面图形的面积公式。 在这些公式的推导中, 刘徽使用了出入相补原理, 即是割补法, 把图形变成与之等积的长方形, 按长方形的面积算法再推证其图形的面积公式。 刘徽的这种思维形式是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式( 长方体), 对具有部分特征相同的数学对象( 一般平面图形)进行模式补形, 实施整合的思维形式。例如, 圭田术给出的公式为:圭田之积= 1/2广× 正从。刘徽给出了公式的证明。 所谓“半广者, 以盈补虚为直万方数据 总第8 8 期山东教育学院学报・9 9 ・田也” , 即用“出入相补” 将圭田割补为“直田” , 即长方形( 如图1)。 所谓“亦可半正从以乘广” , 即为公式:圭田之积= 112正从× 广。它亦由“以盈补虚” 而得( 如图2)。 圭田公式的两种叙述, 反映了各不相同的割补方法。∥ \对于直角梯形、 等腰梯形的面积求法, 也采用割补法,使之变为等积的长方形。 《九章算术》 邪田术为: “并两邪而弋图1图2半之, 以乘正从若广。 又可半正从若广, 以乘并” 。 箕田术为: “并踵舌而半之, 以乘正从。 ” 刘徽分别用“并而半之者,以盈补虚也” 。 与“中分箕田则为两邪田, 故其术相似。 又可并踵舌, 半正从以乘之” 的方法论证了邪田及箕田的面积公式。 对于圆内接正多边形的面积公式及圆面积的公式,也是间接使用割补法论证的。此外, 《九章算术》 的“勾股” 章中的解勾股形问题, 在理论上是勾股定理及其有关几个公式的应用。 《九章算术》 的作者给出了这些公式而未加以论证。 刘徽注重引用古代算家所构造的“弦图” , 以“出入相补” 原理逐一加以证明, 并概括出古代勾股算法完整而严谨的理论体系。3. 形象相似与“牟合方盖”形象相似是以形象识别和模式补形为基础的~种形象思维。 当主体进行形象识别时, 往往在头脑中找不到同质的已有表象, 也不能通过补形整合于以已有模式。 这时主体通常是在头脑中筛选出最近于目标形象的已有表象或模式来进行形象识别。 刘徽在“少广注” 中推导球的体积公式时, 对此有充分的体现。在中算史上, 刘徽的前辈学者探讨球体求积时, 先是把球套入它的外切立方体之中, 但是发现除过中心之截面外,其余各处之截面内圆与外方之四面皆不切合, 于是中算家改用圆困为球的外套。 然而, 圆困套球之截面中, 圆与外方仍有两面不相切合。 刘徽注意到截面从圆与外方四面不切合到两面相切合, 是因为将立方沿纵向“规之为圆困” 的结果, 若再沿横向“规之” , 截面中圆与外方的另两面也切合了。 于是, 他想到应选择最贴近于球这一目标形象的球套。经过一番巧思, 刘徽终于发明了球的“牟合方盖” 。 刘徽还明确指出:球积: 合盖积= 圆率: 方率= 7 r: 4如果“牟合方盖” 的体积能够计算出来。 那么球的体积计算问题就解决了。 遗憾的是刘徽未能解决牟合方盖体积的计算中心问题。 但是, 他的思路正确, 为后来祖冲之父子彻底解决球体积的计算问题指明了方向, 并打下了良好的基础。4. 象质转换与“圆田术注”极限观是刘徽数学思想的重要组成部分, 在《九章算术注》 里, 刘徽多次使用了极限的观念及其理论。 这最先见之于刘徽的“圆田术注” 。 他说: “又按为图, 以六觚之一面乘半径, 因而三之, 得十二觚为幂。 若又割之, 次以十二觚之一面乘半径, 因而六之, 则得二十四觚之幂。 ” 他进一步说:“割之弥细, 所失弥少。 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。 ” 这里, 刘徼是用筝形的面积和, 求得圆内接正多边形的面积, 随着正多边形数的倍增, 正多边形的面积也发生质的变化, 从而求得圆面积。 这种利用数学表象的变化或差异来判别数学对象的质变的形象特征判断就是象质转换。 数学中的象质转换通常是把图形、 图像、 图式的相对静止或特殊的形态, 同有关的动态表象系统或一般的形态相互比较来进行判断的。 可见, 刘徽的极限思想的产生得益于他有较强的象质转换这种形象思维能力。 刘徽根据极限思想, 在利用正多边形面积求圆面积的同时, 也证明了圆田术: “半圆半径相乘得积步” 。 此外, 刘徽的极限思想在弧田术、 开方术以及阳马术中都有应用。刘徽在《九章算术注》 中创立的中算理论, 对中算的发展起了奠基作用。 他的形象思维使得他的研究工作能突破现实的局限, 抓住主要矛盾。 对研究对象进行极度的纯化和简化, 直观形象地揭示对象的本质和规律, 为他的创造性工作指明了方向。 这启示我们, 在目前的数学教学中, 不仅要培养学生的逻辑思维能力, 而且还要注重培养学生的形象思维等非逻辑能力, 这对于学生的创造能力的培养大有裨益。参考文献[ 1]李继闵. 九章算术及其刘徽注研究[ M ]. 西安: 陕西人民教育出版社, 1990.[ 2]郭书春. 九章算术汇校本[ M ]. 沈阳: 辽宁教育出版社, 1990.[ 3]朱家生, 姚林. 数学一它的起源与方法[ M ]. 南京: 东南大学出版社, 1999.[ 4 ]钱学森. 关于思维科学[ M ]. 上海: 上海人民出版社,】 986.万方数据

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