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涨姿势 数学之王欧拉的完美之作——欧拉公式!催生了数学与物理

归档日期:05-13       文本归类:多面体裁剪      文章编辑:爱尚语录

  原标题:涨姿势 数学之王欧拉的完美之作——欧拉公式!催生了数学与物理学大革命

  聊到世界上最完美的公式,就肯定离不开欧拉公式,如果说麦克斯韦方程首次让物理学界迎来了大一统,那么欧拉公式就可以被称为“公式之母”,无数数学界以及物理界的公式都是受他影响而诞生,可以说推动了数学界和物理界的大发展,数学家们更是评价它是“上帝创造的公式”。而这个公式的发明者欧拉也被誉为“数学之王”,是数学界的四大天王(“数学之神”阿基米德、牛顿、“数学王子”高斯、欧拉)。

  我们先来聊聊欧拉,欧拉可以说就是为数学而生,人家9岁,就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。

  13岁考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律。后来觉得太容易了,太轻松了。一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。

  课余还研究音乐、物理、建筑啥的。这他都觉得大学过的很闲。花了两年时间就把六个专业学完了,然后毕业了......

  顺手考了一个硕士,可能是觉得硕士学习的内容太简单了,欧拉完全提不起兴趣。心想要不然就考个博士吧。

  这些欧拉才心满意足,觉得还是有点学习的价值,乖乖读了3年。19岁就成功博士毕业了。博士毕业论文就是写的物理论文。

  为啥说欧拉自负傲娇气性大,因为他20岁的时候参加巴黎科学院奖金的争夺,就拿了一个第二。

  欧拉啥时候受过这样的气啊,心想虽然自己比赛的时候也是洒洒水,没这么认真。也不至于就第二吧。

  当年拿第一的皮埃尔·布格也是厉害人物,在多个领域有很高成就,被后世尊为“ 造船工程学之父 ”。

  到了33岁,欧拉才觉得气消,不再参与比赛。27岁那年,他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等等都是他发明的。

  欧拉凭一己之力,成功为中国数学教材贡献了无数的知识点。让中国学生在中考、高考的数学火海里苦苦挣扎,然而,这只是人家做的一点点微博贡献。

  从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式都是他送给理科系大学生的礼物。

  还有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫写信给欧拉时提出的。现在流行的版本是欧拉记载下来的。

  欧拉在数学的勤奋还有天赋真的是前无古人。号称科研就和生活一样。可能在喝一杯水的时候,就立马想处一个公式来了。

  另外,他还顺便创造了几个全新的学科:拓扑学、弹道学、分析力学,还自学成为了制图学家。全欧洲的天文学家正在讨论该如何计算彗星的轨道,100多个专家苦苦尝试却毫无进展。

  27岁的欧拉听说了这件事之后,得瑟之心油然而生,为了显摆自己的智商,他连续三天不吃不喝不睡,搞出了一套计算彗星轨道的方法。

  然而天道好轮回,天才也缴税,由于连续三天没合眼,他的右眼劳累过度,瞎掉了...

  不过他表示还可以再坚持一下,30岁的独眼欧拉出版了震古烁今的巨著《力学,或解析地叙述运动的理论》,提出了质点的概念。

  还在速度与加速度问题上引入了矢量,一系列巨大成果,改变了人类发展的走向。

  32岁时候,很久没有跨界的他,心里痒痒的,于是出版了一部音乐理论著作,顺便发明了,空气动力学和流体动力学。。

  在59岁的时候,欧拉彻底瞎了,但是欧拉觉得好像解放了新世界。虽然看不清楚,没有办法计算,但是欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。

  而且老年时期还能清楚记得维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》,这本书有多厚呢,人民出版社翻译的中文版共有300多页。

  有一个例子足以说明他的本领,欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来,算到第50位数字,两人相差一个单位。

  欧拉为了确定究竟谁对,用心算进行全部运算,最后把错误找了出来.欧拉在失明的17年中;还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题.欧拉以惊人的记忆力还有能力解决了需要计算的难题,写东西更勤快了。还创立了分析力学和刚体力学

  1771年,64岁的欧拉因为彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中。

  他抓紧这最后的时刻,在一块大黑板上疾书他发现的公式,然后口述其内容,由他的学生特别是大儿子A·欧拉(数学家和物理学家)笔录。

  然而即使欧拉奋战了13年,依然才整理出来一小部分被烧毁的成果,可以说如果不是这场大火,那么欧拉遗留下来的成果你想想对文明的进步会有多大的发展。

  他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年。

  以欧拉命名的公式与定理,足足有数十个。这其中最为知名的就是我们的主体“欧拉公式”,这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction,它是复分析的欧拉公式特例。。

  欧拉公式并没有多复杂,反而方程简单,有点像武林高手,达到了最高境界,返璞归真一样的感觉。

  看起来是不是特别地简单,但是这个公式在以前即使是许多的数学界穷尽一生都很难琢磨明白,它将数学里最重要的几个常数联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。

  那么为什么说这个公式非常复杂呢?因为你可以用非常多不同的方式去证明它,你既可以用数学归纳法证明,也可以用推理证明,也可以分式推导,还可以用复变函数求证,甚至你可以用 平面几何学、 物理学、拓扑学来推证。所以才说他蕴含了所有的数学元素,甚至蕴含了宇宙的至理法则。

  自然数也被称为欧拉数的“e”含于其中。 自然对数的底、素数定理、完全率、阻力落体、粒子运动,大到飞船的速度,小至蜗牛的螺线,都蕴含着“e

  而另外一个超越数,π,大家相比很清楚了,就是圆周率。这两个超越数都是欧拉发明的。

  也包含了最重要的运算符号 + ,最重要的关系符号 = 。而0和1,是构造群,环,域的基本元素,也是构造代数的基础。 而虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面,在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。

  所以你明白为什么这个公式非常之复杂了吗?也正是因为其涵盖范围如此广泛,如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等受到了它的影响。它同样对物理学影响也非常巨大,如机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起......

  泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。可以说欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”。

  加入了t,把e^(ix)想成e^(iwt),t是时间,w是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈,纵轴表示时间t,两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t)),蓝线经过的点是e^ix,即,把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t),它们都是时间t的函数.图中可看到正余和余弦的投射(红/绿)。如果用python做3D图,拖动旋转角度效果更直观.这就是傅立叶变换原理:将时域值拆分映射到频域,通过三角函数的叠加表示。

  v+f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

  所以看完之后,你就能知道为什么欧拉公式被誉为“上帝创造的公式”了吧,很多数学家甚至物理学家都从欧拉公式里得到了启发,高斯曾经说:“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力,他不可能成为数学家。”

  物理学家查德·费曼惊呼:欧拉恒等式不但是“数学最奇妙的公式”,也是现代物理学的定量之跟。

  只是不知道为数学而痛苦的各位,是不是看到这个公式十分气愤,毕竟很多我们中高考大学的公式都是受它影响~

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