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基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法

归档日期:04-23       文本归类:多面体裁剪      文章编辑:爱尚语录

  ENGINEERINGGRAPHICS 2000 2000No.3 基于球面三角网格逼近的 等距曲面逼近算法 王国瑾浙江大学CAD&CG国家重点实验室 浙江大学数学系 给出了一种基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近新算法利用三 角网格逼近基球面 然后计算此三角网格按中心沿原曲面扫掠而成空间区域的边 界作为等距曲面的逼近 该算法计算简单 方便地解决了整体误差问题 而且所 得到的逼近曲面是与原曲面同次数的 NURBS 曲面 关键词 等距曲面 球面 三角剖分 曲面逼近 等距曲线/曲面(offset)在数控机床运动轨迹计算基于公差带分析的误差理论研究以及 带厚度薄片实体 如汽车车身 箱包等 平面曲线的等距曲线已有大量的研究 的计算机辅助几何设计中有着广泛的应用但对等距曲面的研究工作则相对较少 关于为正则的 的分母中出现根式一张 NURBS 曲面 的等距曲面一般不再是 NURBS 曲面 从而无法被通用的 CAD/CAM 系统进行有效的处理 Farouki 给出了三类简单实体凸多面体 旋转体和拉伸体 表面的等距曲面的精确计 证明了Dupin 曲率线为圆弧的曲面的等距曲面也是 Dupin 曲面 Pottmann [10] 提出了 PH 曲面 具有有理等距曲面的一类有理曲面 的概念 并且给出了具有有理等距曲 面的可展曲面的显式表达 [11]证明了抛物面 椭球面和双曲面的等距曲面是有理的 Pottmann [12]证明了不可展有理直纹面的等距曲面在整个空间是可有理化的 对于更为复杂的曲面 生成其等距曲面颇为困难 Farouki [13] 利用双三次 Hermite 多项式 曲面来插值逼近等距曲面 1999 Tiller[14] NURBS曲面的等距曲面逼近提出了 一种新的算法 他们首先判断曲面上包含平面片或旋转面片 球面 环面 锥面和柱面等 的部分 然后根据曲率大小对其它曲面片部分的等距面片进行采样 利用 NURBS 曲面进行 最后在允许误差范围内去除不需要的控制节点本文从另一个角度来考虑 给出了一种新的逼近等距曲面的算法 其基本出发点是把 本文于 2000 月收到本文得到国家自然科学基金 浙江省自然科学基金和国家重点基础研究 973 项目基金资助 第一作者 1975年生 博士生 主要研究领域为计算机图形学 计算机辅助几何设计 等距曲面的问题看作球心在原曲面上运动 半径为d 的基球面沿原曲面扫掠的问题 扫掠 而成空间区域的边界为所有动球的包络曲面 恰好是与原曲面相应的距离为d 的等距曲面 而另一方面基球面是可以用三角网格来逼近的 用后者的扫掠边界来代替前者的扫掠边界 就产生了基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法 球面的三角网格逼近 其中max 为球心O到平面多边形 的距离若多面体T 平移运动则由此刚体运动扫掠形成的空间壳状区域的边 应是等距曲面R的一个近似 且误差不超过 并且当内接多面体T 不同于平面上用内接正多边形可以无限逼近一个圆在空间中 由于多面体的欧拉公 式的限制 正多面体只有五种 考虑到逼近误差须不断减小 用球面的内接三角网格来无限 逼近球面 文献[15]给出了在不同三角网格的多种几何衡量尺度的条件下利用球面的内接凸 三角网格来逼近球面的方法 本文中采用体积最大的几何尺度来构作球面的内接凸三角网格 逼近 见图 等距曲面的逼近算法2.1 基本定义和记号 定义 连续的正则曲面其单位法向量为n(u, 的直线与球心O在原点的单位球面 的法矢映射球面片Q 若曲面R的法矢映射$ 1-1映射 为球面的三角逼近网格其中{F 为三角形面片其单位法 为球心在原点O的单位球面 设经过原点O 方向为n 的直线与S 为三角网格T的对偶球面网格 如图 三角网格T的对偶球面网格T 2.2 逼近边界的构成 显然 基球面的三角细分网格按中心沿曲面扫掠而成的空间区域边界由三角网格边界 的轨迹构成 三角网格的边界包括顶点 直线棱和三角面 需分别讨论各自扫掠而成的轨迹 由于假定在沿曲面运动过程中三角网格的各面方向保持不变 所以其每个顶点的轨迹都是一 张与原曲面同形状的 NURBS 曲面 每条棱的轨迹都是一张以此棱为母线的柱面 它们两两 相交 互相裁剪成为分片裁剪(Trimmed) NURBS 曲面片和柱面片 又因它的面为三角形 于是可知等距逼近曲面由同次分片裁剪(Trimmed) NURBS 曲面片 柱面片和三角片组成 进一步的研究发现 等距逼近曲面的分片可以由原曲面的法矢映像集和三角网格的对偶球面 网格决定 为便于讨论 不妨设曲面 为基本曲面其法矢映射为$ 设等距距离为d半径为d 的球面为 的逼近三角由于 为基本曲面法矢映射 网格其三角面片为 1-1映射 中连接V中顶点的曲线 的某个三角面分别对应于 的法线方向 不妨设此三角面为三角面 必有公共边且曲面 向必垂直于此公共边直线方向设三角网格T 的顶点P的邻接三角面为 上的曲面片区域为下面给出由三角网格T 按中心沿曲面R扫掠所产生的空间壳状区域 的边界 即等距 位于曲面R的曲线C 在曲线C上的任何 位于曲面R上的由曲线误差分析 的球心O到三角片 的距离此三角网格T 位于半径为d和半径为d 的两个球面之间 由此可知用本文方法所得到的等距逼近曲面位于这两个球面扫掠区域的边界之间 言之等距逼近曲面的误差不超过s 用球面的三角逼近网格替代球面笔者给出了把扫掠原曲面所产生的空间壳状区域的 边界曲面来作为等距曲面的逼近曲面的算法 逼近曲面由与原曲面同次数的 NURBS 曲面 柱面片和三角片组成若三角网格与球面的逼近误差为s 则等距逼近曲面与精确等距 曲面的误差不会超过s 从前几节分析可知 本算法具有以下的优点 逼近方法简单直观操作方便 逼近曲面形式简单为与原曲面同次数的 NURBS 曲面片 柱面片和三角片组成 误差估计具有整体性且误差控制简单方便 当逼近多面体趋向基球面时等距逼近曲面收敛到线 容易推广到其它形式自由曲面的等距曲面逼近算法对于原曲面 不是基本曲面片的情况可以首先将 分解成基本曲面片然后分别进 行同样的算法处理 对于曲面 的等距逼近曲面的凹向部分的计算与凸向部分的计算类似还须进行求交计算 另外算法中也需要进行相交判断并去除多余的内部面 这是在任何等距 曲面逼近算法中都会遇到的问题 也是以后所要做的工作puter Aided Design, 1999, 31(3): 165~173 Farouki Exactoffset procedures simplesolids. Computer Aided Geometric Design, 1985, 257~279Martin Principalpatches-a new class surfacepatch based differentialgeometry. Proc.Eurographics’83, North-Holland, Amsterdam Pottmann Rationalcurves rationaloffsets. Computer Aided Geometric Design, 1995, 12(2): 175~192 Wien.Rational parameterization offsets.Computing, 1996, 57(2): 135~147 Pottmann Rationalruled surfaces offsets.Graphical Models ImageProcessing, 1996, 58(6): 544~552 Farouki non-degenerateoffset surfaces. 1986, 15~43Piegl Computingoffsets NURBScurves surfaces.Computer Aided Design, 1999, 31(2): 147~156 Akkiraju Approximatingsphere spherepatches. Computer Aided Geometric Design, 1998, 15(7): 739~756 1011 12 13 14 15

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